Bilangan biner
adalah bilangan dengan dua lambang bilangan yaitu 0 dan 1. Dalam kehidupan
sehari-hari lambang ini bisa dianalogikan mati – hidup, padam – nyala, tinggi –
rendah, tiada – ada dan sebagainya. Kenapa dengan aljabar Boolean atau aljabar
Boole?. Aljabar Boole merupakan aljabar yang mengoperasikan kondisi (bukan
angka) 0 dan 1, kondisi mati – hidup, tiada – ada. Kondisi ini sesuai dengan
bilangan biner. Namun demikian dengan operasi kondisi 0 dan 1 ini bisa
“dimanipulasi” menjadi operasi biner, penjumlahan, pengurangan, perkalian
ataupun pembagian.
Dengan kondisi 0
dan satu maka dalam aljabar boolean lambang variabel ditulis misalnya dengan A,
B, C atau lambang huruf-huruf yang lain misalnya X, Y, Z. Karena hanya dikenal
dua kondisi maka jika tidak 0 adalah 1 dan jika tidak 1 adalah 0. Penulisan
didalam variabel jika tidak A maka A’ (atau A diberi garis pendek diatasnya).
Operasi boolean.
Operasi dasar
boolean ada 3 yaitu: AND, OR dan NOT. Maksud dari operasi tersebut adalah:
1. AND, dalam literasinya dilambangkan dengan dot. Adalah operasi pada
suatu fungsi dimana fungsi tersebut akan menghasilkan kondisi 1 jika semua
masukannya berkondisi 1, akan berkondisi 0 jika ada salah satu masukan atau
lebih berkondisi 0. Operasi ini mirip dengan operasi perkalian didalam
matematika. Contoh: Misalkan fungsi dengan masukan A dan B:
Maka
fungsi ditulis:
X
= A.B
Jika
A dan B bernilai 1 (mulai saat ini kita sebut nilai untuk menggantikan kondisi)
maka:
X =
1 . 1
X
= 1
Jika
salah satu A atau B bernilai 0 maka:
X
= 1 . 0
X
= 0
Penyebutan
AND untuk operasi ini karena kondisi yang disebutkan sebelumnya yaitu keluaran
akan bernilai 1 jika masukan A dan (AND) B bernilai 1.
2. OR dalam literasinya dilambangkan +. Bukan penjumlahan tetapi hampir
mirip dengan operasi penjumlahan dalam matematika. Operasi ini akan
menghasilkan nilai 1 jika salah satu atau lebih masukannya bernilai 1. Fungsi
OR ditulis:
X
= A + B
Jika
A = 0, B = 0 maka
X
= 0 + 0 = 0
Jika
A = 0, B = 1 maka
X
= 0 + 1 = 1
Jika
A = 1, B = 0 maka
X
= 1 + 0 = 1
Jika
A = 1 dan B = 1 maka
X
= 1 + 1 = 1
3. NOT merupakan operasi kebalikan dari suati nilai. Kebalikan dari nilai
0 adalah 1, kebalikan nilai 1 adalah 0. Literasi operasi ini biasanya ditulis
dengan nama variabel yang diberi garis pendek pada bagian atas variabel
tersebut (sulit menulis dengan MS Word memberi tanda garis diatasnya), atau
diberi tanda satu aksen (‘). Misalnya NOT A ditulis A’, NOT B ditulis B’. Jika
ditulis NOT dua kali maka akan mengembalikan kepada nilai awalnya. Contoh:
Jika
A = 0 maka
A’
= 1
A’’
= 0
Jika
A = 1 maka
A’
= 0
A’’
= 1
Disamping ketiga operasi dasar tersebut masih
ada operasi yang lain misalnya Exclusive OR atau sering disebut XOR. Dilain
bagian akan coba saya bahas.
Tabel kebenaran (truth table)
Tabel kebenaran
merupakan suatu tabel yang menggambarkan hubungan nilai pada masukan suatu
fungsi Boolean dengan keluarannya. Pada pembahasan operasi boolean secara tidak
sadar kita sudah mempunyai tabel kebenaran.
Tabel kebenaran
untuk AND dengan dua masukan A, B dan keluaran X:
A
|
B
|
X=A.B
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
Tabel kebenaran
untuk OR dengan dua masukan A, B dan keluaran X:
A
|
B
|
X=A+B
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Tabel kebenaran
untuk NOT dengan masukan A dan keluaran X:
A
|
X=A’
|
0
|
1
|
1
|
0
|
Hukum Boolean
Hukum dasar Boolean
menggambarkan kondisi dimana kondisi tersebut akan pasti terjadi. Kejadian ini
bisa ditelaah melalui operasi boolean ataupun dengan menggunakan tabel
kebenaran.
a. Hukum Komutatif
A
+ B = B + A
A
. B = B . A
b. Hukum Asosiatif
(A
+ B) + C = A + (B + C)
(A
. B) . C = A . (B . C)
c. Hukum Distributif
A
. (B + C) = A . B + A . C
A
+ (B . C) = (A + B) . (A + C)
d. Hukum Identitas
A
+ A = A
A
. A = A
e. Hukum Negasi
(A)
= A
A’’
= A
f.
Hukum Redundan
A
+ A . B = A
A
. (A + B) = A
g. Hukum Identitas
A
+ A’ = 1
A
. A’ = 0
0
+ A = A
1
. A = A
0
. A = 0
A
+ A . B = A + B
h. Teorema De Morgan
(
A + B )’ = A’ . B’
( A
. B)’ = A’ + B’
